1章 大問2

(1)
$$
\begin{aligned}
R_n & =\frac{e^c}{n !} x^n \quad(0<c < x) \\
& =\frac{e^{\theta x}}{n !} x^n \quad(0<\theta<1)
\end{aligned}
$$

(2)
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{n !}
$$
の収束の有無を考えればよい
$$
\begin{aligned}
&\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x \cdots x}{n \cdot n \cdot \cdots (n-k+1) \cdots 1} \\
& <\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{n}\right)^k \cdot \frac{x^{n-k}}{(n-k) !} \\
& =0 \
\end{aligned}
$$
このことより，
$$
\begin{aligned}
& \lim_{n \rightarrow \infty} R_n\\
&=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\theta x}}{n !} x^n=0 \
&
\end{aligned}
$$

(3)
$e^x$のマクローリン展開において，x=1とすると，
$$
\begin{aligned}
e&=1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots\\
& >2 \
\end{aligned}
$$
であり，また，収束する等比数列により，大小比較を行うと，
$$
\begin{aligned}
e & =1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\cdots \\
& <1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2}+\cdots \\
& =1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \\
& =1+\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)}=3
\end{aligned}
$$
以上より，
$$
2 < e < 3
$$